Построение правильных многоугольников (окончание)

Решение

Пусть A₁A₂...A_n — данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁ и А₂ и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА₁ (см. рис. 307).

Рис. 310

Для решения задачи достаточно разделить дуги А₁А₂, А₂А₃, ..., A_nA₁ пополам и каждую из точек деления В₁, В₂, .... В_n соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 310, на этом рисунке n = 6). Для построения точек В₁, В₂, ..., В_n можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного n-угольника. На рисунке 310 таким способом построен правильный двенадцатиугольник A₁B₂А₂B₂... A₆B₆.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2^k-угольник, где k — любое целое число, большее двух.

Замечание

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

<<< К началу